La dinamica dei fluidi – Equazione di continuità

Per poter parlare della dinamica dei fluidi bisogna prima saper distinguere i fluidi ideali da quelli reali.
Un fluido può essere definito ideale se soddisfa le seguenti 4 proprietà:

• Ha un moto laminare o stazionario. Un fluido che ha un moto laminare o stazionario in ogni punto del flusso la velocità (ed in generale la pressione e la densità) è costante nel tempo. La velocità può cambiare da punto a punto, ma per uno stesso punto del condotto, la velocità deve restare costante.
  Un esempio di moto laminare è quello che compie l’acqua in un fiume che scorre a regime lento. Un esempio di moto non laminare è quello dell’acqua nei torrenti o nelle cascate.
• E’ incomprimibile, ovvero la sua densità resta costante ed uniforme in ogni punto del fluido che scorre. Quasi tutti i fluidi liquidi sono incomprimibili.
• Non è viscoso. Infatti la viscosità è l’analogo dell’attrito nel moto dei solidi ed è una misura di quanto un fluido si oppone allo scorrimento.
  Il miele, per esempio, scorre più difficilmente dell’acqua su un piano inclinato perché è più viscoso dell’acqua.
• Ha un moto irrotazionale. Un fluido viene definito irrotazionale quando ogni sua particella ha velocità angolare intorno al proprio centro di massa uguale a zero, anche se si muove su di una traiettoria circolare.
  Il moto di un liquido in un vortice è di tipo rotazionale così come la diffusione del fumo di sigaretta.

In tutti i fluidi che seguono un moto laminare o stazionario, la traiettoria che una particella di fluido descrive durante il suo moto prende il nome di linea di flusso. La velocità della particella è sempre tangente alla linea di flusso in ogni punto di essa ed ogni particella che arriva in un determinato punto, vi transita con la stessa velocità in modulo, direzione e verso.

Sapendo che in un determinato punto la velocità della particella è costante nel tempo, si può dire con certezza che due linee di flusso non si incrociano mai. Infatti, se esse si incrociassero, una particella di fluido che arriva nel punto d’incrocio avrebbe contemporaneamente due velocità diverse dovute dalle tangenti delle linee di flusso.
Quindi le linee di flusso sono parallele tra di loro e il loro insieme che tocca i punti di una linea chiusa immersa nel fluido dà origine a un tubo di flusso.
Nel moto laminare o stazionario, nessuna particella di fluido può attraversare la superficie esterna di un tubo di flusso e il flusso che entra da un’estremità del tubo di flusso deve per forza uscire tutto dall’altra.

Equazione di continuità (legge di Leonardo)

La legge di Leonardo mette in relazione la velocità di un fluido e la sezione del flusso laminare. Secondo questa legge, la velocità dipende dalla sezione attraverso cui un fluido fluisce.
Nel tempo Δt si identifica con ΔV il volume di fluido che entra da sinistra nel tubo attraverso la sezione A₁.
Siccome il fluido è incomprimibile, uno stesso volume ΔV deve uscire da destra attraverso la sezione A₂.
In un intervallo Δt, il fluido si sposta di ΔX = vΔt. E quindi il volume del fluido che attraversa A₁ in Δt è: ΔV = A₁v₁Δt. Mentre il volume di fluido che attraversa A₂ in Δt è: ΔV = A₂v₂Δt.
Quindi: A₁v₁Δt = A₂v₂Δt per arrivare finalmente all’equazione di continuità: A₁v₁ = A₂v₂

Il prodotto A⋅v = R_v si chiama portata o flusso di volume ed indica il volume di fluido che nell’unità di tempo attraversa la sezione di un tubo. Nel sistema internazionale l’unità di misura è il m³/s, mentre nel sistema Gauss è il cm³/s.
L’equazione di continuità vale non solo per i fluidi ideali, ma per qualsiasi fluido reale ed afferma che la portata attraverso un tubo di flusso rimane costante e che quindi la velocità di un fluido aumenta al diminuire della sezione del tubo.
Se la densità del fluido è costante l’equazione diventa: A₁v₁ρ = A₂v₂ρ = R_m.
R_m è la portata di massa o flusso di massa, ovvero la massa di fluido che attraversa la sezione di un tubo nell’unità di tempo. L’unità di misura nel sistema internazionale è il Kg/s, mentre nel sistema Gauss è il gr/s.

In generale l’equazione di continuità afferma che attraverso un tubo, se non ci sono sorgenti o perdite di fluido, la massa di fluido che attraversa nell’unità di tempo ogni sezione del tubo deve essere costante.

Questo risultato esprime la legge di conservazione della massa nella dinamica dei fluidi.

Un esempio della legge di Leonardo è visibile nell’acqua che scorre da un rubinetto. Essa infatti assume una forma di cono rovesciato e non di cilindro, questo perché le molecole dell’acqua che escono dal rubinetto cadono con moto uniformemente accelerato grazie all’accelerazione di gravità. Quindi la velocità in A₁ è maggiore che in A₀ e, per il principio di continuità A₁ deve essere inferiore di A₀.
Se v(A₀) < v(A₁) siccome A₀⋅v(A₀) = A₁⋅v(A₁) anche A₁ < A₀.

Fonte: Fisica biomedica.