Principi fisici di funzionamento della PET

La tomografia ad emissione di positroni, o PET, è una tecnica di imaging di medicina nucleare in grado di misurare, in vivo, la concentrazione locale di un tracciante marcato con un radioisotopo emettitore di positroni (β⁺) (radiotracciante o radiofarmaco).
Prima di effettuare una scansione PET, il radiotracciante viene iniettato nel paziente e si diffonde fisiologicamente all’interno del corpo. La concentrazione del radiotracciante, che fornisce una visione della fisiologia e/o patologia del paziente, è proporzionale alla distribuzione dell’attività del radioisotopo, ρ(x,y,z).
Il positrone emesso si annichila con un elettrone nel tessuto, producendo così due fotoni quasi opposti di 511 keV ciascuno. Questi due fotoni vengono rilevati in coincidenza temporale utilizzando coppie opposte di rilevatori, tipicamente disposti in un anello attorno al paziente.

Emissione di positroni

I radioisotopi emettitori di positroni sono atomi i cui nuclei hanno un eccesso di protoni rispetto ai neutroni e decadono verso una configurazione stabile attraverso il decadimento β⁺. Il decadimento β⁺ di un nucleo _ZX con numero atomico Z può essere descritto come segue:

_ZX → _Z−1Y^* + β⁺+ ν_e

La particella β⁺ è chiamata positrone ed è l’antiparticella dell’elettrone. Questo significa che l’elettrone e il positrone hanno la stessa massa (m_elettrone = m_positrone = 9.109 × 10⁻³¹ kg) ma cariche opposte (q_elettrone = −q_positrone = −1.602 × 10⁻¹⁹ C). Il positrone è quindi una particella carica positivamente. In alcuni casi, il nucleo figlio _Z−1Y può trovarsi in uno stato eccitato _Z−1Y^∗ con una successiva emissione di raggi γ per raggiungere lo stato fondamentale. A causa della presenza del neutrino (ν_e, una particella neutra senza massa), il decadimento β⁺ è un decadimento a tre particelle. L’energia rilasciata è quasi equamente divisa tra le particelle più leggere, il β⁺ e il ν_e, a causa della massa molto maggiore del nucleo di rinculo che fa sì che la sua energia cinetica sia trascurabile. Di conseguenza, il positrone mostra uno spettro di energia continuo che va da zero all’energia massima E_max rilasciata nel decadimento. Questo valore dipende dall’isotopo e varia da poche centinaia di chiloelettronvolt a pochi megaelettronvolt.

Annichilazione del positrone

I positroni emessi perdono la loro energia principalmente attraverso multiple interazioni coulombiane con gli elettroni presenti nel tessuto biologico. A causa dell’equivalenza delle masse del positrone e dell’elettrone, il positrone può subire grandi deviazioni angolari in ciascuna interazione. Il percorso del positrone è quindi caratterizzato da un percorso a zigzag. Quando il positrone raggiunge l’equilibrio termico con il mezzo, si annichila con un elettrone. Il percorso totale del positrone è chiamato lunghezza del percorso, mentre la distanza tra il punto di emissione e la posizione in cui si raggiunge l’equilibrio termico è chiamata raggio del positrone. Il raggio del positrone dipende dalla sua energia e dalla densità e Z del mezzo.

Quando avviene l’annichilazione positrone-elettrone, vengono emessi due fotoni ad alta energia che sono fisicamente identici ai raggi γ emessi dai radionuclidi che emettono fotoni singoli. Poiché questi fotoni ad alta energia non sono generati nel nucleo atomico ma nella nube elettronica circostante al di fuori del nucleo, non possono formalmente essere denominati come raggi γ, anche se condividono con i raggi γ tutte le proprietà di interazione con la materia.
I fotoni ad alta energia generati dall’evento di annichilazione vengono emessi a circa 180° (uno di fronte all’altro), e la loro energia è sempre uguale a 511 keV, a causa della legge di equivalenza massa-energia di Einstein:

E_γ = (m_ec² + m_βc²)/2 = (511 keV + 511 keV)/2 = 511 keV

dove m_e e m_β sono rispettivamente la massa dell’elettrone e la massa del positrone.

Come già accennato, l’annichilazione del positrone avviene quando il positrone ha raggiunto un’energia cinetica sufficientemente bassa (circa 1/40 eV, equilibrio termico). Se consideriamo l’annichilazione nel centro di massa del sistema elettrone-positrone, i due fotoni sono esattamente collineari, cioè emessi a 180°. Poiché nel sistema di riferimento del laboratorio il centro di massa non è a riposo, la collinearità dei due fotoni verrà persa a causa della trasformazione angolare da un sistema di riferimento all’altro, la cosiddetta trasformazione di Lorentz. Questa non-collinearità si traduce in una dispersione gaussiana centrata a 180° di una quantità Δθ. Quando un positrone annichila in acqua, la deviazione dalla collinearità Δθ = 0.5° FWHM.

L’obiettivo di una scansione PET è misurare la distribuzione di attività ρ(x,y,z) di un radioisotopo emettitore di β⁺. Grazie all’emissione quasi collineare della coppia di raggi γ dall’annichilazione del positrone con un elettrone, è possibile definire la linea L lungo la quale è avvenuta l’annichilazione. L è comunemente chiamata line of flight o LOF.
La distribuzione di attività ρ(x,y,z) è misurata in termini di proiezioni (N_γ-γ) lungo le linee L utilizzando l’operatore integrale di linea:

Questo è un modello ideale che assume un raggio del positrone nullo, nessuna deviazione dalla collinearità e un comportamento ideale del rivelatore.
Nella situazione pratica, le linee L sono definite da tutte le possibili linee di risposta che collegano un elemento del rivelatore i a un elemento del rivelatore j. Quindi, l’operatore integrale di linea può essere scritto come:

Pertanto, il problema della misurazione PET si riduce alla rivelazione di coppie di fotoni γ da 511 keV.

Fonte: Fondamenti di medicina nucleare. Tecniche e applicazioni.