Forze di trascinamento viscoso ad alta e bassa velocità (legge di Stokes)

Le forze di trascinamento viscoso sono forze di attrito che, nel moto di un oggetto attraverso un fluido reale, si oppongono ad esso rallentandolo.
Esistono due regimi di velocità: a velocità molto bassa e a velocità alta.

Forze di trascinamento a bassa velocità

La forza di trascinamento a bassa velocità è dovuta alle forze di viscosità ed è proporzionale alla velocità: F_R = -bv, dove b è il coefficiente di attrito viscoso.
Nel caso di oggetti sferici di raggio r, in regime laminare, b=-6πrη e quindi la F_R è proporzionale a η (coefficiente di viscosità) e alle dimensioni dell’oggetto in moto ed è data dalla legge i Stokes: F_R=-6πrηv.
Dalla legge di Stokes si può notare come la forza di trascinamento viscoso a bassa velocità non dipende dalla densità del liquido ρ_l. La legge di Stokes è valida solo se la velocità è molto bassa.
In termini del numero di Reynolds, un valore proporzionale al rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose, per una sfera di raggio r, la legge di Stokes è valida se:

Se N_R ≥ 1, la F_R diventa proporzionale a v², a condizione che la v sia ancora in regime laminare e non turbolento.

Per oggetti che possiedono forme diverse, la legge di Stokes è ancora valida, ma il coefficiente N_R va determinato sperimentalmente ed r è visto come una dimensione caratteristica dell’oggetto.

Quando si parla di forze di trascinamento viscoso, molto importante è introdurre il coefficiente di mobilità μ che corrisponde al rapporto tra la velocità limite di trascinamento v_l e la forza di attrito viscoso F_R:

L’unità di misura del coefficiente di mobilità è il s/Kg.
Esso dipende dalle proprietà del mezzo viscoso e dalle caratteristiche della particella in moto nel mezzo viscoso, infatti, essendo F_R = -bv, considerando v= v_l:

Sedimentazione

Considerando una particella sferica di raggio r e densità ρ in caduta libera in un fluido di viscosità η e densità ρ_l, per determinare la velocità limite, di trascinamento o di sedimentazione v_l bisogna ragionare in senso di equilibrio di forze. Infatti la v_l è raggiunta quando la forza di attrito viscoso F_R e la spinta di Archimede F_A eguagliano la forza peso F_P (F_R+F_A+F_P=0 ovvero F_R+F_A=-F_P). Andando a sostituire le rispettive forze, avremo:
6πrηv_l + F_A = mg.
La spinta di Archimede F_A verso l’alto è pari al peso di fluido spostato: F_A = ρ_lgV. Trattandosi di una particella sferica, il volume è V= (4/3)πr³.
Inoltre, considerando la forza peso F_P=ρVg, quando si raggiunge l’equilibrio dinamico:

Dall’equazione ottenuta si può notare che misurando la velocità di sedimentazione v_l e il raggio r delle particelle, si può determinare la viscosità η del fluido. Infatti v_l dipende dalle dimensioni e dalla densità della particella, ma anche dal coefficiente di viscosità e la densità del fluido dove è immersa.

Mediante sedimentazione, si possono separare particelle diverse presenti in una sospensione in base alle loro dimensioni e densità.
Quando la velocità di sedimentazione è molto lenta, si usano tecniche che permettono di accelerarla come la centrifugazione.

Forze di trascinamento ad alta velocità

Quando la v di un corpo che si muove in un fluido viscoso cresce in modo tale che N_R ≥ 1 la F_R di attrito viscoso o trascinamento opposta dal fluido diventa proporzionale a v². Quindi:

Dove A = π R² è la sezione della particella intesa come sfera e ρ_l v²/2 è l’energia cinetica dell’unità di volume del fluido con densità ρ_l. C è un coefficiente adimensionale che dipende dalla forma geometrica del corpo e viene determinato sperimentalmente.
Nel caso delle forze di trascinamento viscoso ad alta velocità manca la dipendenza da η. Ciò è in accordo con l’idea che la F_R nasce solo quando N_R ≥ 1, ovvero dall’accelerazione del fluido che si muove intorno alla sfera e non da effetti di viscosità.
La relazione di F_R ad alta velocità è valida per oggetti di qualsiasi forma, dove A è la sezione trasversale dell’oggetto perpendicolare alla direzione del moto. Ciò avviene nonostante il moto del fluido intorno al cilindro varia da laminare a turbolento per N_R = 100.

Fonte: Fisica biomedica.